Cho đường tròn (C) x2+y2=1, tiếp tuyến của đường tròn cắt đường thẳng y=\(\left|x\right|\) tại A và B. Tìm quỹ tích trung điểm AB
Cho đường tròn (O), đường kính AB. gọi d là tiếp tuyến tại A của đường tròn. Điểm C chuyển động trên d. BC cắt (O) tại D(D khác B).Gọi E là trung điểm BD. Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC.
Help me
Mình không vẽ hình , thông cảm nhé
Vì E là trung điểm của BD
=> \(OE\perp BD\)
=> góc OEC=góc OAC=90độ
=> tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác là trung điểm của OC
Gọi K là trung điểm của OA=> K cố định
Do I là trung điểm của OC
=> \(KI//AC\)
=> \(KI\perp AB\)=> KI là trung trực của OA
=> quỹ tích điểm I là đường trung trực của OA và cùng phía với C
Vậy quỹ tích điểm I là đường trung trực của OA và cùng phía với C
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C di động trên nửa đường tròn đó. Vẽ tiếp tuyến Ax , tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn O cắt Ax tại D(C là tiếp điểm).Tìm quỹ tích của tâm đường tròn ngoại tiếp của ∆ADC.
lop 9 sao biet moi hoc lop 5 ma day sao biet duoc
hình đó, giải nè, có góc OCD và OAD vuông suy ra tứ giác OCDA nội tiếp, suy ra O thuộc tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC suy ra tâm đường tròn đó thuộc trung trực OA, O cố định, A cố định suy ra quỹ tích tâm đường tròn đó là trung trực OA
Cho đường tròn \(\left(O;R\right)\) và 2 đường kính \(AB\) và \(CD\) sao cho tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \(\left(O;R\right)\) cắt các đường thẳng \(BC\) và \(BD\) tại hai điểm tương ứng là \(E\) và \(F\). Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AE\) và \(AF\).
\(a\)) Chứng minh rằng trực tâm \(H\) của tam giác \(BPQ\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\).
\(b\)) Gọi \(\alpha\) là số đo góc \(BFE\). Hai đường kính \(AB\) và \(CD\) thỏa mãn điều kiện gì thì biểu thức: \(P=\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\) đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
\(c\)) Chứng minh các hệ thức sau: \(CE\cdot DF\cdot EF=CD^3\) và \(\dfrac{BE^3}{BF^3}=\dfrac{CE}{DF}\)
a) Định nghĩa lại H là trung điểm OA. Ta thấy OQ là đường trung bình của tam giác ABF nên OQ//BF. Hơn nữa \(BF\perp BE\) nên \(OQ\perp BE\). Lại có \(BA\perp QE\) nên O là trực tâm của tam giác BEQ \(\Rightarrow OE\perp BQ\)
Mặt khác, PH là đường trung bình của tam giác AOE nên PH//OA. Do đó, \(PH\perp BQ\). Lại thấy rằng \(BH\perp PQ\) nên H là trực tâm tam giác BPQ (đpcm)
b) Ta có \(P=\sin^6\alpha+\cos^6\alpha\)
\(=\left(\sin^2\alpha\right)^3+\left(\cos^2\alpha\right)^3\)
\(=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\left(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha-\sin^2\alpha\cos^2\alpha\right)\)
\(=1.\left[\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\right]\)
\(=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)
\(\le1-3.\dfrac{\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2}{4}\)
\(=\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sin\alpha=\cos\alpha\) \(\Leftrightarrow\alpha=45^o\) hay 2 dây AB, CD vuông góc với nhau.
Vậy \(min_P=\dfrac{1}{4}\)
c) Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}EC.EB=EA^2\\FD.FB=FA^2\end{matrix}\right.\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\(\Rightarrow EC.EB.FD.FB=\left(EA.FA\right)^2\)
\(\Rightarrow EC.FD.\left(EB.DB\right)=AB^4\)
\(\Rightarrow EC.FD.\left(EF.AB\right)=AB^4\)
\(\Rightarrow EC.FD.EF=AB^3=CD^3\) (đpcm)
Ta có \(EC.DF=AC.AD=BC.BD\)
\(\Rightarrow\dfrac{EC}{DF}=\dfrac{BC.BD}{DF^2}\)
\(=\dfrac{BC}{DF}.\dfrac{BD}{DF}\)
\(=\dfrac{BE}{BF}.\dfrac{AC}{DF}\)
\(=\dfrac{BE}{BF}.\dfrac{AE}{AF}\)
\(=\left(\dfrac{BE}{BF}\right)^3\)
Ta có đpcm.
Bài khá căng đấy
Bài 1.
a) Rút gọn A = \(\frac{5\sqrt{x}-2-3x}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
b) Tìm số nguyên x để A là một số nguyên
Bài 2. Cho đường tròn (O;R), đường kính AB và điểm C thuộc (O), kẻ CH vuông góc với AB tại H (tam giác ABC vuông tại C). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia BC ở điểm D và điểm I là trung điểm của AD ( IC là tiếp tuyến của đường tròn (O) ). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt tia IC ở K. Hãy xác định vị trí điểm C trên (O) để diện tích tứ giác AKBI nhỏ nhất.
Cho đường tròn \(\left(O\right)\) và điểm \(A\) bên ngoài đường tròn, từ \(A\) vẽ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn (\(B\) là tiếp điểm). Kẻ đường kính \(BC\) của đường tròn \(\left(O\right)\). \(AC\) cắt đường tròn \(\left(O\right)\) tại \(D\) (\(D\) khác \(C\)).
\(a\)) Chứng minh \(BD\) vuông góc \(AC\) và \(AB^2=AD\cdot AC\).
\(b\)) Từ \(C\) vẽ dây \(CE//OA,BE\) cắt \(OA\) tại \(H\). Chứng minh \(H\) là trung điểm \(BE\) và \(AE\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\).
\(c\)) Tia \(OA\) cắt đường tròn \(\left(O\right)\) tại \(F\). Chứng minh \(FA\cdot CH=HF\cdot CA\).
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 - 2 x - 6 y + 6 = 0 . Đường thẳng (d) đi qua M(2;3) cắt (C) tại hai điểm A, B. Tiếp tuyến của đường tròn tại A và cắt nhau tại E. Biết S A E B = 32 5 và phương trình đường thẳng (d) có dạng a x - y + c = 0 với a , c ∈ ℤ , a > 0 . Khi đó a + 2 c bằng:
A. 1
B. -1
C. -4
D. 0
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Gọi D là một điểm trên đường kính AB; qua D kẻ đường vuông góc với AB cắt BC tại F, cắt AC tại E. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt EF tại I. Chứng minh:
a, I là trung điểm của CE
b, Đường thẳng OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECE
Bài 1: Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là 1 điểm thay đổi trên đường tròn.Kẻ CH vuông góc với
Gọi I là trung điểm của AC,OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tại M,MB cắt CH tại K
Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt GTLN?tìm GTLN đó theo R
Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. M là 1 điểm thuộc dt d . Qua M kẻ tiếp tuyến MA,MB với đường tròn. Hạ OH vuông góc với d tại H.Nối Ab cắt OM tại I,OH tại K.Tia OM cắt đường tròn (O;R) tại E
Cm: E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có diên tích lớn nhất
Bài 3 :cho 3 điểm a,b,c cố định nằm trên đường thẳng d(b nằm giữa a và c) .Vẽ đường tròn (0) cố định luôn đi qua B và C (0 là không nằm trên đường thẳng D ).Kẻ AM,AN là các tiếp tuyến với (0) tại M ,N .gọi I là trung điểm của BC,OA cắt MN tại H cắt (0) tại P và Q ( P nằm giữa A và O).BC cắt MN tại K
a.CM: O,M,N,I cùng nằm trên 1 đường tròn
b.CM điểm K cố định
c.Gọi D là trung điểm của HQ.Từ H kẻ đường thẳng vuông góc MD cắt MP tại E
d.Cm: P là trung điểm của ME
Bài 4:Cho đường tròn (O;R) đường kính CD=2R. M là 1 điểm thay đổi trên OC . Vẽ đường tròn (O') đường kính MD. Gọi I là trung điểm của MC,đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E,F. đường thẳng ED cắt (O') tại P
a.Cm 3 điểm P,M,F thẳng hàng
b.Cm IP là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
c.Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO lớn nhất
Bài 4:
a:
Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
=>ΔCED vuông tại E
ΔOEF cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của EF
Xét tứ giác CEMF có
I là trung điểm chung của CM và EF
CM vuông góc EF
=>CEMF là hình thoi
=>CE//MF
=<MF vuông góc ED(1)
Xét (O') có
ΔMPD nội tiêp
MD là đường kính
=>ΔMPD vuông tại P
=>MP vuông góc ED(2)
Từ (1), (2) suy ra F,M,P thẳng hàng
b: góc IPO'=góc IPM+góc O'PM
=góc IEM+góc O'MP
=góc IEM+góc FMI=90 độ
=>IP là tiếp tuyến của (O')
Câu 3 Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm C bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN và cát tuyến CAB với đường tròn (A nằm giữa C và B). Gọi H là trung điểm của dây AB, đường thẳng HO cắt đường thẳng CN tại K, đường thẳng MH cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là J.
1. Chứng minh bốn điểm C, H, O, N cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh KN. KC = KH. KO và NJ //AB.
1: góc CHO+góc CNO=180 độ
=>CHON nội tiếp
2: Xét ΔKON và ΔKCH có
góc KON=góc KCH
góc K chung
=>ΔKON đồng dạng với ΔKCH
=>KO/KC=KN/KH
=>KO*KH=KN*KC